Дан тетраэдр \(ABCD.\) Известно, что центр сферы, описанной около этого тетраэдра, лежит на \(AB,\) что плоскости \(ABC\) и \(ABD\) перпендикулярны и что \(AD = DC = CB.\) Найдите угол между прямыми \(AD\) и \(CB.\)

Решение

1. Из точки \(C \) опустим перпендикуляры \(CK \) и \(CT \) на \(AB \) и \(DB \) соответсnвенно.\(ABC \cap ABD = AB; \quad CK \in ABC;CK \perp AB \quad \Rightarrow \quad CK \perp ABD \quad \Rightarrow \quad KT \perp DB\) (\(\href{https://examp.info/theorem/teorema-o-tryoh-perpendikulyarah/}{\text{По теореме о трёх перпендикулярах}}\)).
\(\\\)

2. Поскольку \(AB\) – диаметр сферы, описанной около \(ABCD,\) \(\quad \angle ADB = \angle ACB = 90^{\circ} \quad \Rightarrow \quad KT \parallel AD. \)
\(\\\)

3. По условию \(\triangle DBC\) – равнобедренный \( \quad \Rightarrow \quad CT\quad \)является медианой. Отсюда и из пункта 2 следует, что \(KT \quad - \quad \)средняя линия треугольника \(ADB \quad \Rightarrow \quad AK = KB \quad \Rightarrow \quad CK \quad - \quad \)биссектриса и медиана треугольника \(ABC \quad \Rightarrow \quad AC = BC.\)
\(\\\)

4. Из точки \(D\) опустим перпендикуляры \(DK'\) и \(DM\) на \(AB\) и \(AC\) соответсвенно. \(DK' \perp DM \quad \Rightarrow \quad DK' \perp ABC \quad \Rightarrow \quad K'M \perp AC) (\href{https://examp.info/theorem/teorema-o-tryoh-perpendikulyarah/}{\text{По теореме о трёх перпендикулярах}}\)) \(\Rightarrow K'M \parallel BC. \) Поскольку \(AD = DC, \quad M\) \(-\) середина \(AC \quad \Rightarrow \quad K'M\) \(-\) средняя линия треугольника \(ABC\quad \Rightarrow \quad K'\) \(-\) середина \(AB\quad \Rightarrow \quad AD = BD\quad\) и \(\quad K = K'.\)
\(\\\)

5. Продолжим \(KC\) за точку \(K\) до точки \(E\) так, что \(EK = KC.\) \(\quad EC = AB; \quad K\) \(-\) середина \(AB\) и \(EC; \quad EC \perp AB \quad \Rightarrow \quad EACB\) \(-\) квадрат \(\quad \Rightarrow \quad AE = BC\quad\) и \(\quad AE \parallel BC.\)
\(\\\)
\(DK \perp EC \quad \Rightarrow \quad \triangle EDK = \triangle CDK \quad \text{(по двум катетам)} \quad \Rightarrow \quad ED = DC \quad \Rightarrow \quad \triangle ADE\) \(-\) равносторонний \(\quad \Rightarrow \quad \angle DAE = 60^{\circ} = \angle (AD; CB).\)

Ответ: \(60^{\circ}\).