Решить дифференциальное уравнение: \((xy+sin(y))dx+(0.5\cdot x^2+x \mathop{\mathrm{cos}}(y))dy\).

Решение

$$(xy+sin(y))dx+(0.5\cdot x^2+xcos(y))dy=0\\$$
домножим на 2
$$2(xy+sin(y))dx+2(0.5\cdot x^2+xcos(y))dy=0\\$$
$$(2sin(y)+2xy)dx+(2xcos(y)+x^2)dy=0$$
Уравнение в полных дифференциалах:
$$M(x,y)dy+N(x,y)dx=0$$
где $$ M=2xcos(y)+x^2; \hspace{0.6cm} N=2sin(y)+2xy$$
$$F(x,y)= \int Ndx=\int 2sin(y)+2xy \hspace{0.2cm} dx = yx^2+2xsin(y)+C_{y}$$
$$(yx^2+2xsin(y))′_{y}=2xcos(y)+x^2$$
$$C_{y}=\int M - (yx^2+2xsin(y))′_{y}dy=0$$
$$F(x,y)=yx^2+2xsin(y)+C_{y} = yx^2+2xsin(y)$$
$$yx^2+2xsin(y)=C$$

Ответ: $$yx^2+2xsin(y)=C$$.