Найдите все пары действительных чисел \((x,y)\), удовлетворяющих равенству \(\frac{\pi}{2}- \arcsin \left(1 + \log_2 (x^{2}+y^{2}) \right) = 1 +\log_2 (xy)\).

Решение

Арксинус определён на отрезке \([-1;1]\) и принимает значения на отрезке \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\). Значит, левая часть исходного равенства принимает лишь неотрицательные значения, а \(x,y\) должны удовлетворять неравенству \(\log_2 (x^{2}+y^{2}) \leqslant 0\). Но тогда для правой части имеем \(1+\log_2 (xy) = \log_2 (2xy)\leqslant \log_2 (x^{2}+y^{2}) \leqslant 0\), причём первое неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда \(x=y\), а второе только тогда, когда \(x^{2}+y^{2}=1\). Получаем \(x=y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\). Остаётся убедиться, что при таких значениях \(x,y\) обе части исходного равенства обращаются в 0.

Ответ: \(x=y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\).