Дан тетраэдр \(ABCD\). Известно, что \(AB = BC = CD = 5\) и \(CA = AD = DB = 6.\) Найдите косинус угла между рёбрами \(BC\) и \(AD\).

Решение

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Треугольник равнобедренный. Отсюда следует, что высота, опущенная из вершины \(B\), равна \(\sqrt{AB^2 - \left(\dfrac{AC}{2} \right)^2} = 4\). Следовательно, высота \(AH\), опущенная из вершины \(A\), равна \(AH=\dfrac{4AC}{BC} = \dfrac{24}{5}\).

Отсюда получаем: \(CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \dfrac{18}{5}, \quad BH = BC - CH = \dfrac{7}{5}\).

Пусть \(M\) \(-\) середина \(BC\). Тогда \(MH = BM - BH = \dfrac{5}{2} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{11}{10}. \)

2. Пусть \(N\) \(-\) середина \(AD\). \(\triangle ABD = \triangle CDA \quad\Rightarrow\quad BN = CN \quad\) (как соответствующие медианы) \(\quad\Rightarrow\quad \triangle BNC\) \(-\) равнобедренный \(\quad\Rightarrow\quad MN \perp BC.\)

\(\triangle ABC = \triangle DCB \quad\Rightarrow\quad AM = DM \quad\) (как соответствующие медианы) \(\quad\Rightarrow\quad \triangle AMD\) \(-\) равнобедренный \(\quad\Rightarrow\quad MN \perp AD.\)

3. Рассмотрим плоскость \(\alpha\), содержащую \(BC\) и параллельную \(AD\). Спроецируем ортогонально на эту плоскость точки \(A\) и \(D\). Полученные точки обозначим \(A^\prime\) и \(D^\prime\). Точка \(N\) при этом проецируется в точку \(M\). Стало быть, искомый угол равен \(\angle A^\prime MB\).

\(AH \perp BC \quad\Rightarrow\quad A^\prime H \perp BC \quad \) как проекция \(AH\). Из прямоугольного треугольника \( A^\prime MH\) получаем:

\[\cos \angle A^\prime MB = \cos \angle A^\prime MH = \dfrac{MH}{A^\prime M} = \dfrac{2MH}{AD} = \dfrac{11}{30}.\]

Ответ: \(\dfrac{11}{30}\).