Решите дифференциальное уравнение: (\(x^2\)+\(2xy)dx\)+\(xydy=0\).

Решение

Делим на \(x\) и у нас пропадает решение \(x=0\).
\[xdx+2ydx+ydy=0\]
\[ydy=-(2y+x)dx\]
Уравнение однородное, поэтому произведём следующую замену:
\[u=\dfrac{y}{x}; y=ux; dy=udx+xdu\]
\[ux(udx+xdu)=-(2u+1)xdx\] \( \\ \)
Делим на \(x\) и группируем:
\[uxdu=(-u^2-2u-1)dx\]
Делим на \(x\) и на \(-u^2-2u-1\) и вычисляем интеграл ( пропадает решение, когда \(u+1=0\), то есть \(\dfrac{y}{x} + 1=0, x=-y\) ):
\[\displaystyle\int \dfrac{-udu}{u^2+2u+1} = \int \dfrac{dx}{x}\]
\[\ln u+1 +\dfrac{1}{u+1}=C- \ln x\]
Обратная замена:
\[\ln \left( \dfrac{y}{x} + 1 \right) + \dfrac{1}{\dfrac{y}{x}+1} = C - \ln x\]
\[C = \ln(x+y)+\dfrac{x}{y+x}\]

Ответ: \(C = \ln(x+y)+\dfrac{x}{y+x}; x=0; x=-y\).