Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением \(\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\cdot\sin \frac{\pi}{4} -\sqrt{2} \right)^{4}-\frac{1}{4}\).

Решение

\(\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\cdot\sin \frac{\pi}{4} -\sqrt{2} \right)^{4}-\frac{1}{4}=\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{2} \right)^{4}-\frac{1}{4}=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=2\).

Ответ: 2.