Найдите все значения параметра \(a\), при которых наименьшее (по \(x\)) значение выражения
\(\log^{2}_2 (ax) + \log^{2}_2 \left(\frac{1-a}{x}\right)\) максимально.

Решение

Заметим, что \(a\) и \(1-a\) должны быть одного знака, значит \(0 < a < 1\).
Далее, для любых действительных чисел \(b,\) \(c\) справедливо неравенство
\[
\frac{b^{2}+c^{2}}{2}\geqslant \left(\frac{b+c}{2}\right)^{2}
\]
(\(\href{https://examp.info/theorem/neravenstva-o-srednih/}{\text{неравенством о средних}}\)), причем равенство достигается тогда и только тогда, когда \(b=c.\) Стало быть,
\[
\log^{2}_2 (ax) + \log^{2}_2 \left(\frac{1-a}{x}\right)\geqslant 2\left(\frac{\log_2 (a(1-a))}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\log^{2}_2 (a-a^{2})
\]
и равенство достигается, если \(ax=\frac{1-a}{x}\). Наконец, \(a-a^{2} \leqslant \frac{1}{4} \) и равенство достигается тогда и только тогда, когда \(a=\frac{1}{2}.\)

Ответ: \(\frac{1}{2}\).