Решите неравенство \(7^{\log^2 _{7} x}+2 x^{\log _{7} x}<21\).

Решение

Воспользуемся формулой \( a^{\log _{b} c} = c^{\log _{b} a} \) (см. \(\href{https://examp.info/theorem/logarifma/}{\text{свойства логарифма}}\)):
\begin{gather*}
7^{\log^2 _{7} x}+2 x^{\log _{7} x}<21
\quad\Leftrightarrow\quad\\ \\
\quad\Leftrightarrow\quad 7^{\log^2 _{7} x}+2 \cdot (x^{\log _{7} 7})^{\log _{7} x}<21
\quad\Leftrightarrow\\ \\
\quad\Leftrightarrow\quad 7^{\log^2 _{7} x}+2 \cdot (7^{\log _{7} x})^{\log _{7} x}<21
\quad\Leftrightarrow\quad\\ \\
\quad\Leftrightarrow\quad 7^{\log^2 _{7} x}+2 \cdot 7^{\log^2 _{7} x}<21
\quad\Leftrightarrow\\ \\
\quad\Leftrightarrow\quad 3 \cdot 7^{\log^2 _{7} x}<21
\quad\Leftrightarrow\quad\\ \\
\quad\Leftrightarrow\quad 7^{\log^2 _{7} x}<7
\quad\Leftrightarrow\\ \\
\quad\Leftrightarrow\quad \log^2 _{7} x <1
\quad\Leftrightarrow\quad\\ \\
\quad\Leftrightarrow\quad -1<\log _{7} x <1
\quad\Leftrightarrow\quad\\ \\
\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{7} <x<7.
\end{gather*}

Ответ: \(\dfrac{1}{7} <x<7\).