Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) составляют угол 45\(^{\circ}.\)
Найти площадь треугольника, построенного на векторах \(\vec{a}-2\vec{b}\) и \( 3\vec{a} + 2\vec{b} \), если \( |\vec{a}|=|\vec{b}|=5 \)

Решение

По геометрическому свойству векторного произведения лощадь треугольника, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равна модулю их векторного произведения: \(S=\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\)

Найдем векторное произведение \(\vec{a}-2\vec{b}\) и \( 3\vec{a} + 2\vec{b} \): \((\vec{a} - 2\vec{b}) \times (3\vec{a} + 2\vec{b}) = [\vec{a} ; 3\vec{a} + 2\vec{b}] + [-2\vec{b} ; 3\vec{a} + 2\vec{b}]\)= \([\vec{a};3\vec{a}] + [\vec{a};2\vec{b}] + [-2\vec{b};3\vec{a}] + [-2\vec{b};2\vec{b}]=\)\(= 0 + 2[\vec{a};\vec{b}] -6[\vec{b};\vec{a}] + 0 = 2[\vec{a};\vec{b}] + 6[\vec{a};\vec{b}]=8[\vec{a};\vec{b}]\)

Найдем длину векторного произведения: \(|(\vec{a} ; \vec{b})| = 5\cdot 5 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2} = \frac{25\cdot\sqrt{2}}{2} \)

Тогда площадь треугольника равна: \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{25\cdot \sqrt{2}}{2} \cdot 8 = 50\sqrt{2}
\)

Ответ: \( 50\sqrt{2}\).