Решите уравнение \(\text{tg}\left(x\ -\dfrac{\pi}{3}\right)\text{tg}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1.\)

Решение

Заметим, что
\[\text{tg}\left(x\ -\dfrac{\pi}{3}\right)\text{tg}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\ -1=
\dfrac{\sin\left(x\ -\dfrac{\pi}{3}\right)\cdot\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(x\ -\dfrac{\pi}{3}\right)\cdot\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}\ -1=\]
\[
=\dfrac{\sin\left(x\ -\dfrac{\pi}{3}\right)\cdot\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\ -\cos\left(x\ -\dfrac{\pi}{3}\right)\cdot\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(x\ -\dfrac{\pi}{3}\right)\cdot\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}=\]
\[=\dfrac{-\cos\left(2x\ -\dfrac{\pi}{12}\right)}{\cos\left(x\ -\dfrac{\pi}{3}\right)\cdot\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}.
\]
Найдём нули числителя: \[2x\ -\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}{2} +\pi k\right)=\dfrac{7}{24}\pi+\dfrac{\pi}{2}k, k\in \mathbb{Z}.\]
Эти числа не являются нулями знаменателя, поскольку ни \(\dfrac{7}{24}\pi\ - \dfrac{\pi}{3}\), ни \(\dfrac{7}{24}\pi + \dfrac{\pi}{4}\) не кратно \(\dfrac{\pi}{2}\). Следовательно, множество нулей числителя совпадает с множеством решений исходного уравнения.

Ответ: \(\dfrac{7}{24}\pi+\dfrac{\pi}{2}k, k\in \mathbb{Z}\).