Решить уравнение, допускающее понижение порядка: \(y^{\prime \prime \prime} = \cos^2 x\).

Решение

Понижаем степень в левой части, для этого возьмем интеграл:
\[y^{\prime \prime} =\int_{} \cos^2 x dx=\int \frac{1+\cos 2x}2 dx\]
\[y^{\prime \prime} = \dfrac{\sin 2x}{4} + \dfrac{x}{2} + C_1\]
Понижаем еще раз и повторяем:
\[y^{\prime} = \int_{} \left( \dfrac{\sin 2x}{4} + \dfrac{x}{2} + C_1 \right) dx\]
\[y^{\prime} = - \dfrac{\cos 2x}{8} + \dfrac{x^2}{4} + C_1 \cdot x + C_2\]
Проделываем это еще раз и получаем ответ:
\[ y = \int_{} \left(- \dfrac{\cos 2x}{8} + \dfrac{x^2}{4} + C_1 \cdot x + C_2 \right)dx \]
\[ y = - \dfrac{\sin 2x}{16} + \dfrac{x^3}{12} + \dfrac{C_1 \cdot x^2}{2} + C_2 \cdot x + C_3\]

Ответ: \( y = - \dfrac{\sin 2x}{16} + \dfrac{x^3}{12} + \dfrac{C_1 \cdot x^2}{2} + C_2 \cdot x + C_3\).