Решить линейное неоднородное уравнение: \(y^{\prime \prime} + y = 4 \sin x + e^{-x} \)

Решение

Найдем общее решение:
\[ \lambda^2 + 1 = 0\]
\[ \lambda = \pm i.\]
Общее решение однородного уравнения получится:
\[ y = C_1 \cdot \sin x + C \cdot \cos x. \]
Найдем частное решение для \(4 \sin x \), которое запишем в виде многочлена (учитывая кратность корня):
\[ y_1 = x(A \cdot \cos x + B \cdot \sin x) \]
\[ y_1^{\prime \prime} = (-Bx - 2A)\sin x + (2B - Ax)\cos x.\]
Подставим в исходное уравнение:
\[ \left[ (-Bx - 2A)\sin x + (2B - Ax)\cos x\ \right] + \left[ x(A \cos x + B \sin x) \right] = 4 \sin x \]
\[ 2B \cos x - 2A \sin x = 4 \sin x\]
\[ \left\{\begin{array}\\-2A = 4 \\2B = 0 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}\\A = -2\\ B = 0\end{array}\right. \]
Подставим в \(y_1\):
\[ y_1 = -2x \cos x.\]
Так же найдем и частное решение для \(e^{-x}\):
\[ y_2 = \dfrac{A}{e^x} \Rightarrow y_2^{\prime \prime} = \dfrac{A}{e^x}. \]
Подставим в исходное уравнение:
\[ \dfrac{2A}{e^x} = \dfrac{1}{e^x} \Rightarrow 2A = 1 \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}. \]
Чтобы получить решение уравнения надо сложить общее и частные решения, получим:
\[ y = C_1 \cdot \sin x - 2x \cos x + C \cdot \cos x + \dfrac{1}{2e^x}. \]

Ответ: \( y = C_1 \cdot \sin x - 2x \cos x + C \cdot \cos x + \dfrac{1}{2e^x} \).