Сторона квадрата равна \(1\). На вписанной в него окружности взяли произвольную точку. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин квадрата постоянна, и найдите эту сумму.

Решение

1. \( r = 0{,}5AB = 0{,}5.\)
</p>
2. \(|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OD}| = \sqrt{0{,}5^2 + 0{,}5^2} = \sqrt{0{,}5}\) (по теореме Пифагора).
</p>
3. \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} \Rightarrow |\overrightarrow{MA}|^2 = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA})^2 = |\overrightarrow{MO}|^2 + |\overrightarrow{OA}|^2 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OA} = 0{,}5 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OA}.\)
</p>
4. Аналогично
\[|\overrightarrow{MB}|^2 = 0{,}5 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OB};\]
\[|\overrightarrow{MC}|^2 = 0{,}5 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OC};\]
\[|\overrightarrow{MD}|^2 = 0{,}5 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OD}.\]
</p>
5. \(|\overrightarrow{MA}|^2 + |\overrightarrow{MB}|^2 + |\overrightarrow{MC}|^2 + |\overrightarrow{MD}|^2 = 3 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})\).
</p>
6. Т. к. точка \(O\) - \(\href{https://biblio.mccme.ru/node/5444}{\text{центр масс квадрата}}\), \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 0, \Rightarrow |\overrightarrow{MA}|^2 + \overrightarrow{MB}|^2 + \overrightarrow{MC}|^2 + \overrightarrow{MD}|^2 = 3\) - независимо от расположения точки \(M\).
</p>
Решение добавила Ч. Газизуллина.

Ответ: \(3\).