Решите уравнение \( \sin^4{x}+\sin\left( x+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left( x-\frac{\pi}{3}\right)=0 \)

Решение

Используем формулу произведения синусов:
\[\sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\left( \cos\left( {\alpha-\beta}\right) -\cos\left( {\alpha+\beta}\right) \right) \] Получим \[ \sin^4{x}+\sin\left( x+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left( x-\frac{\pi}{3}\right)=0 \Leftrightarrow\ \sin^4{x}+\frac{1}{2}\left( \cos{\frac{2\pi}{3}}-\cos{2x}\right)=0.\] Далее продолжим: \[ 4\sin^4{x}-1-2\cos{2x}=0 \Leftrightarrow\ 4\sin^4{x}+4\sin^2{x}-3=0 \Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow\ \left( 2\sin^2{x}-1\right) \left( 2\sin^2{x}+3\right)=0.\] \(
\sin{x}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \iff \) \( x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}. \)

Ответ: \( x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z} \).