Решите неравенство \(\log_{\sqrt{x}}\left|\dfrac{3x}{x-4}\right|\leqslant 4.\)

Решение

Воспользуемся \(\href{https://examp.info/theorem/logarifma/}{\text{свойствами логарифма 0.2), 2), 3.1) и 3.2)}}.\)

\begin{gather*}
\log_{\sqrt{x}}\left|\dfrac{3x}{x\ -4}\right|\leqslant4 \stackrel{(3.2)}{\Longleftrightarrow} \\ \\ \Leftrightarrow \log_{x}\dfrac{3x}{|x\ -4|}\leqslant2 \stackrel{(3.1),(0.2)}{\Longleftrightarrow} \\ \\ \Leftrightarrow
\log_x{\dfrac{3x}{|x\ -4|}}\leqslant \log_x{x^2} \stackrel{(2)}{\Longleftrightarrow} \\ \\ \Leftrightarrow
\log_x {\dfrac{3x}{|x\ -4|x^2}}\leqslant0 \Leftrightarrow\\ \\ \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}x>0\\
\dfrac{3x}{|x\ -4|x^2}>0\\
\dfrac{3x}{|x\ -4|x^2(x\ -1)}\leqslant0 \\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}x>0\\ \dfrac{3}{|x\ -4|x(x\ -1)}\leqslant0 \\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}x>4\\ (x\ -4)(x\ -1)x<0 \end{array}\right.\\
\left\{\begin{array}{l}0<{x}<4\\ (x\ -4)(x\ -1)x>0 \end{array}\right.
\end{array}\right.\Leftrightarrow
\end{gather*}

\[\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
\varnothing\\
0<{x}<1
\end{array}\right.\Leftrightarrow
x \in (0,1).\]

Ответ: \(x \in (0,1)\).