Вычислить площадь треугольника с вершинами \(A(7; 3; 4)\), \(B(1; 0; 6)\) и \(C(4; 5; -2)\).

Решение

Площадь треугольника, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \(S=|\vec{a} \times \vec{b}|\)

Найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}:\)
\(\overrightarrow{AB} = (1-7;0-3;6-4) = (-6;-3;-2),\)
\(\overrightarrow{AC} = (4-7;5-3;-2-5) = (-3;2;-6)\)

\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
-6&-3&-2\\
-3&2&-6\\
\end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix}
-3&-2\\
2&-6\\
\end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix}
-6&-2\\
-3&-6\\
\end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix}
-6&-3\\
-3&2\\
\end{vmatrix}=\vec{i} ((-)3\cdot(-6) + 2\cdot(-2)) - \vec{j}((-)6\cdot(-)6 - (-3)\cdot(-2)) + \vec{k}((-6)\cdot2 - (-3)\cdot(-)3) = 14\vec{i} - 42\vec{j} - 21\vec{k}\)

\(S = \frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]| =
\frac{1}{2} \sqrt{14^2 + (-42)^2 + (-21)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{196 + 1764 + 441} = \frac{1}{2} \sqrt{2401} = \frac{1}{2}49 = 24{,}5\)

Ответ: 24,5.