Решите дифференциальное уравнение: \((e^y + 2xy + x)dy + (y^2 + y + x^2)dx = 0\)

Решение

Уравнение в полных дифференциалах. Следовательно \(M(x,y)dy + N(x,y)dx = 0\), где \(M(x,y) = (e^y + 2xy + x)dy\), а \(N(x,y) = (y^2 + y + x^2)dx \)
\[ \\ \]
Проверка: \((M(x,y)_x)^{\prime} = (N(x,y)_y)^{\prime} = 2y + 1\)
\[\int_{} N(x,y)dx = \int_{} y^2 + y + x^2 dx = \dfrac{x^3}{3} + yx + y^2 x + C(y)\]
\[C(y) = \int_{} M(x,y) - \left( \dfrac{x^3}{3} + yx + y^2 x \right)^{\prime}dy = \int_{} e^y dy = e^y\]
Тогда у нас получится:
\[e^y + \dfrac{x^3}{3} + y^2 x + yx = C\]

Ответ: \(e^y + \dfrac{x^3}{3} + y^2 x + yx = C\).