Середины сторон выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) лежат на окружности. Известно, что \(AB=1\), \(BC=4\), \(CD=8\). Найдите \(AD\).

Решение

Обозначим середины сторон \(AB, \ BC, \ CD, \ DA\) через \(A_1, \ B_1, \ C_1, \ D_1\) соответственно. Четырёхугольник \(A_1 B_1 C_1 D_1\) является параллелограммом, так как отрезки \(A_1 B_1\) и \(C_1 D_1\) средние линии в треугольниках \(ABC\) и \(CDA\) соответственно, а значит \(A_1 B_1 \parallel C_1 D_1\). Аналогично \(A_1 D_1 \parallel B_1 C_1\). Таким образом, противоположные стороны параллельны.
Четырёхугольник \(A_1 B_1 C_1 D_1\) по условию вписан в окружность, а значит он является прямоугольником. \(AC\bot BD\), так как \(A_1 B_1 \parallel C_1 D_1 \parallel AC\), \(A_1 D_1 \parallel B_1 C_1 \parallel BD\), но \(A_1 B_1 \bot B_1 C_1\).
Рассмотрим четырёхугольник \(AB, \ BC, \ CD, \ DA\). Обозначим через \(X\) точку пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). По теореме Пифагора:
в \(\triangle ABX\): \(AB^2=AX^2+BX^2\);
в \(\triangle CDX\): \(CD^2=CX^2+DX^2\);
в \(\triangle BCX\): \(BC^2=BX^2+CX^2\);
в \(\triangle ADX\): \(AD^2=AX^2+DX^2\).
Отсюда следует, что \(AB^2+CD^2=AX^2+BX^2+CX^2+DX^2\) и \(BC^2+AD^2=AX^2+BX^2+CX^2+DX^2\)\(\quad \Rightarrow \quad \) \(AD^2=AB^2+CD^2-BC^2\). Значит, \(AD=7\).

Ответ: \(AD=7\).