На диагонали \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. При этом \(AM=MB\) и \(CN=2NB\). Найдите тангенс острого угла параллелограмма \(ABCD.\)

Решение

Поскольку вершина \(B\) находится вне окружности, при ней угол острый. Обозначим его \(\alpha\). Пусть \(O-\) центр окружности. Тогда, поскольку \(OM-\) средняя линия в треугольнике \(ABC\), имеем \(BC=2OM=2OA=AC\), откуда \(\angle BAC = \angle ABC = \alpha\). Далее, поскольку \(AC-\) диаметр, \(\angle ANC=90^{\circ}\), по \(\href{https://examp.info/theorem/o-vpisannom-ugle/}{\text{теореме о вписанном угле}}\). Стало быть,
\[\cos\angle ACB=\dfrac{CN}{AC}=\dfrac{\frac{2}{3}BC}{AC}=\dfrac{2}{3}.\]
Тогда
\[\sin^2\alpha=\dfrac{1\ -\cos 2\alpha}{2} = \dfrac{1\ -\cos(\pi\ -\angle ACB)}{2}=\dfrac{1+\frac{2}{3}}{2}=\dfrac{5}{6}.\]
Отсюда \(\cos^2 \alpha = \dfrac{1}{6}\) и \(\text{tg}^2\alpha =5\). Поскольку угол острый, получаем \(\text{tg } \alpha = \sqrt{5}.\)

Ответ: \(\sqrt{5}\).