Решите неравенство \((2\log_2 ^2 x - \log_2 x^2 + 1)^{x^2-2x}\leqslant 1\).

Решение

Заметим, что \(2\log^2 _{2} x-\log _{2}x^2+1 = \log^2 _{2} x+\log^2 _{2} x-2\log _{2}x+1 = \log^2 _{2} x+(\log _{2}x-1)^2 >0\). Стало быть,

\begin{equation*}
(2\log_2 ^2 x - \log_2 x^2 + 1)^{x^2-2x}\leqslant 1
\quad\Leftrightarrow\quad
(2\log_2 ^2 x - 2\log_2 x + 1)^{x^2-2x}\leqslant 1
\end{equation*}
Применим \(\href{https://examp.info/theorem/metod-racionalizacii/}{\text{метод рационализации}}\) для показательной функции:
\begin{equation*}
(2\log_2 ^2 x - 2\log_2 x)(x^2-2x)\leqslant 0
\quad\Leftrightarrow\quad
x\log_2 x (\log_2 x-1)(x-2)\leqslant 0
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
x>0 \\
x(x-1)(x-2)(x-2)\leqslant 0
\end{cases}
\end{equation*}
Окончательно получим \(x\in (0,1]\cup \{ 2\}\).

Ответ: \(x\in (0,1]\cup \{ 2\}\).