Решите дифференциальное уравнение: \((y+2x+1)dx - (2y+4x-3)dy = 0\)

Решение

Произведём замену \(u = y + 2x; du = dy + 2dx; y = u - 2x; dy = du - 2dx\).
\[(u+1)dx - (4x + 2(u-2x) - 3)(du - 2dx = 0\]
\[(5 - 5u)dx = (-4x - 2u + 4x + 3)du\]
\[(5 - 5u)dx = (3 - 2u)du\]
Разделим на \(5 - 5u\) и вычислим интеграл:
\[\int_{} dx = \int_{} \dfrac{(2u - 3)du}{5(u - 1)}\]
\[x + C = \dfrac{2u-\ln(u-1)}{5}\]
Обратная замена \(u = y + 2x\):
\[\dfrac{2(y+2x)}{5} - \dfrac{\ln(y+2x-1)}{5} = x + C\]
\[\dfrac{2y+4x-\ln(y+2x-1)}{5} = \dfrac{x}{5} + C\]
Так как мы делили на \(u-1=0\), у нас потерялось решение: \(y+2x-1=0; x=-\dfrac{y-1}{2}\)

Ответ: \(\dfrac{2y+4x-\ln(y+2x-1)}{5} = \dfrac{x}{5} + C; x=-\dfrac{y-1}{2}\).