В выпуклом шестиугольнике провели шесть диагоналей так, как показано на рисунке. Докажите, что середины этих диагоналей образуют шестиугольник, площадь которого в 4 раза меньше площади исходного шестиугольника.

Решение

1. Дополнительное построение: \(KO\) и \(AD.\)
<br/>
2. По формуле площади четырехугольника:
\[S_{KMNO} = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot MO \cdot \sin \alpha;\]
\[S_{DEFA} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot FD \cdot \sin \beta.\]
3. \(MO\) - средняя линия в \(\triangle ACE;\) \(MO = \frac{AE}{2}\) и \(MO \parallel AE\); \(KN\) - средняя линия в \(\triangle FBD;\) \(KN = \frac{DF}{2}\) и \(KN \parallel FD; \Rightarrow \angle \alpha = \angle \beta; \Rightarrow \sin \alpha = \sin \beta .\)
<br/>
4. \[\frac{S_{KMNO}}{S_{DEFA}} = \frac{KN \cdot MO \cdot \sin \alpha}{AE \cdot FD \cdot \sin \beta};\]
\[\frac{S_{KMNO}}{S_{DEFA}} = \frac{KN \cdot MO}{2 \cdot KN \cdot 2 \cdot MO} = \frac{1}{4}.\]
5. Аналогично
\[\frac{S_{OPLK}}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4};\]
(\(OL\) - средняя линия \(\triangle CAE; PK\) - средняя линия \(\triangle BDF;\) углы пересечения диагоналей четырёхугольников равны); \(\Rightarrow\)
\[\frac{S_{KMNO}+S_{OPLK}}{S_{DEFA}+S_{ABCD}} = \frac{S_{MNOPLK}}{S_{ABCDEF}} = \frac{1}{4}.\]
Что и требовалось доказать.
<br/>
Решение добавила Газизуллина Ч.

Ответ: .