Исследовать на сходимость ряд: \(1 + \dfrac{3}{2\cdot3} + \dfrac{3^2}{2^{2} \cdot 5} + \dfrac{3^3}{2^{3} \cdot 7} + ...\)

Решение

Выпишем n-ый член \(a_n=\left( \dfrac{3}{2} \right)^n \cdot \dfrac{1}{2n + 1} \) данного ряда \(\sum\limits_{n=0}^\infty\left( \dfrac{3}{2} \right)^n \cdot \dfrac{1}{2n + 1} \).
Применим признак Даламбера для этого ряда:
\[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1} \cdot \dfrac{1}{2(n+1) + 1}}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n \cdot \dfrac{1}{2n + 1}}\]
Преобразуем и получим:
\[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1} \cdot 2^n \cdot (2n+1)}{2^{n+1} \cdot 3^n \cdot (2n+3)} \]
\[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{3 \cdot 3^n \cdot 2^n \cdot (2n+1)}{2 \cdot 2^n \cdot 3^n \cdot (2n+3)} \]
Вынесем константу \(\dfrac{3}{2}\) за знак предела:
\[\dfrac{3}{2} \lim_{n \to \infty} \dfrac{6^n \cdot (2n+1)}{6^n \cdot (2n+3)} \]
Сокращаем \(6^n\):
\[\dfrac{3}{2} \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n+1}{2n+3} \]
Далее чтобы найти предел делим на \(n\):
\[\dfrac{3}{2} \lim_{n \to \infty} \dfrac{2 + \dfrac{1}{n}}{2 + \dfrac{3}{n}} \]
Т.к. \(\dfrac{1}{n}\) и \(\dfrac{3}{n}\) стремятся к \(0\) при \(x \rightarrow +\infty\), получим:
\[\dfrac{3}{2} \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{2} \cdot 1 = \dfrac{3}{2} > 1,\]
следовательно, ряд расходится.

Ответ: Ряд расходиться.