Через начало координат проведена прямая на одинаковом расстоянии от точек \(A(2;2)\) и \(B(4;0)\). Найти это расстояние.

Решение

\(\rhd\)
\(\rho(A,l)=\rho(B,l)\)
<p>
Уравнение прямой l: Ax+By=0 (C=0, так как прямая проходит через начало координат).

Таким образом,
\(\dfrac{|2A+2B|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\dfrac{|4A|}{\sqrt{A^2+B^2}} \Longleftrightarrow |2A+2B|=|4A| \Longleftrightarrow (2A+2B)^2=(4A)^2 \Longleftrightarrow 4A^2+8AB+4B^2=16A^2
\Longleftrightarrow 12A^2-8AB-4B^2=0 \Longleftrightarrow 3A^2-2AB-B^2=0\)



Дискриминант равен \(4B^2+8B^2=16B^2\)
<p>
Следовательно, \(A=\dfrac{2B\pm4B}{6}=B\) или \(-\dfrac{B}{3}\)
<p>
Таким образом, уравнение первой прямой: x+y=0; уравнение второй прямой: \(-\dfrac{1}{3}x+y=0\)
<p>
Расстояние от первой прямой до точек равно \(\dfrac{|2+2|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
<p>
Расстояние от второй прямой до точек равно \(\dfrac{|-\dfrac{4}{3}|}{\sqrt{\dfrac{1}{9}+1}}=\dfrac{\dfrac{4}{3}\cdot3}{\sqrt{10}}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}\) \(\lhd\)

Ответ: \(2\sqrt{2}\); \(\dfrac{4}{\sqrt{10}}\).