Решите уравнение \(\mathop{\mathrm{tg}} x = 4 \sin x -\sqrt{3}\).

Решение

Используя \(\href{https://examp.info/theorem/preobrazovaniya-summy-i-proizvedeniya-trigonometricheskih-funkcij/}{\text{формулы преобразования}}\), упростим тригонометрическое выражение:
\[
\frac{\sin x}{\cos x} = 4\sin x - \sqrt{3} \quad\Leftrightarrow\quad
\]\[\quad\Leftrightarrow\quad
\sin x = (4\sin x - \sqrt{3})\cos x \quad\Leftrightarrow\quad
\]\[ \quad\Leftrightarrow\quad
\sin x = 4\sin x\cos x - \sqrt{3}\cos x \quad\Leftrightarrow\quad
\]\[\quad\Leftrightarrow\quad
\sin x - 4\sin x\cos x = -\sqrt{3}\cos x \quad\Leftrightarrow\quad
\]\[ \quad\Leftrightarrow\quad
\sin x - 4\sin x\cos x + \sqrt{3}\cos x = 0 \quad\Leftrightarrow\quad
\]\[\quad\Leftrightarrow\quad
\sin x + \sqrt{3}\cos x = 4\sin x\cos x \quad\Leftrightarrow\quad
\]\[ \quad\Leftrightarrow\quad
\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\cdot 2\sin x\cos x \quad\Leftrightarrow\quad
\]\[\quad\Leftrightarrow\quad
\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2 \sin(2x) \quad\Leftrightarrow\quad
\]\[ \quad\Leftrightarrow\quad
2 \sin(2x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x \quad\Leftrightarrow\quad
\]\[ \quad\Leftrightarrow\quad
\sin(2x) = \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x \quad\Leftrightarrow\quad
\]\[\quad\Leftrightarrow\quad
\sin(2x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \quad\Leftrightarrow\quad
\]

\(\quad\Leftrightarrow\quad\)\(\left[ \begin{gathered} 2x= x + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ 2x=-x + \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\\ \end{gathered} \right. k \in\mathbb{Z} \\\).

Ответ: \(\left[ \begin{gathered} x=\frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ x=\frac{2\pi}{9} + \frac{2}{3}k\pi\\ \end{gathered} \right. k \in\mathbb{Z} \\\).