Решите уравнение \(\mathop{\mathrm{tg}}x \mathop{\mathrm{tg}}2x + 3=0\).

Решение

\[\mathop{\mathrm{tg}}x \mathop{\mathrm{tg}}2x + 3=0\iff\]
\[\iff \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot \dfrac{\sin{2x}}{\cos{2x}}+3=0 \iff\]
\[\iff \dfrac{\sin{x}\sin{2x}+3\cos{x}\cos{2x}}{\cos{x}\cos{2x}}=0 \iff\]
\[\iff
\begin{cases}
\sin{x}\sin{2x}+3\cos{x}\cos{2x}=0, \\
\cos{x}\cos{2x} \neq 0.
\end{cases}
\iff\]
\[\iff
\begin{cases}
\dfrac{1}{2}(\cos{x}-\cos{3x})+\dfrac{3}{2}(\cos{x}+\cos{3x})=0, \\
\cos{x}\cos{2x} \neq 0.
\end{cases}
\iff\]
\[\iff
\begin{cases}
2\cos{x}+\cos{3x}=0, \\
\cos{x}\cos{2x} \neq 0.
\end{cases}
\iff\]
\[\iff
\begin{cases}
4\cos^3{x}-\cos{x}=0, \\
\cos{x}\cos{2x} \neq 0.
\end{cases}
\iff\]
\[\iff
\begin{cases}
\cos{x}(4\cos^2{x}-1)=0, \\
\cos{x}\cos{2x} \neq 0.
\end{cases}
\iff\]
\[\iff \cos{x}=\pm \dfrac{1}{2} \iff \]
\[\iff x=\pm \dfrac{\pi}{3}+\pi k, k\in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb {Z}\).