В трапеции \(ABCD\) основание \(AB\) в два раза больше основания \(CD.\) Отрезки \(AL,\; BM\) и \(DK\), где \(K,\; L,\; M\) — соответственно середины сторон \(AB,\; BC,\; AD,\) ограничивают треугольник площади 1. Найдите площадь трапеции.

Решение

Обозначим точки пересечения прямых \(AL\) и \(BM\) с прямой \(CD\) через \(E\) и \(F\) соответственно. Обозначим также через P точку пересечения \(AL\) и \(DK\), через \(R\) — точку пересечения \(DK\) и \(BM.\) Пусть \(h\) — высота трапеции, \(h_1\) — расстояние от \(R\) до прямой \(AB, h_2\) — расстояние от P до прямой \(AB\), \(h_3\) — расстояние от \(Q\) до прямой \(AB\). Заметим, что в силу равенства треугольников \(DF\:=\:AB\:=\:EC.\) Учитывая, что \(AB\:=\:2CD\), получаем, что \[DF/KB\:=\:2, \quad ED/AK\:=3,\quad EF/AB\:=\:5/2.\]
Отсюда в силу подобия треугольников \(DFR\) и \(KBR\), подобия треугольников \(EDP\) и \(AKP\) и подобия треугольников \(EFQ\) и \(ABQ,\) следует, что
\[(h-h_1)/h_1=2, \quad (h-h_2)/h_2=3, \quad (h-h_3)/h_3=5/2.\]
Стало быть, \(h_1=h/3, h_2=h/4, h_3=2h/7.\)
Поэтому \[S(\bigtriangleup PQR)=S(\bigtriangleup KBR)+S(\bigtriangleup AKP)-S(\bigtriangleup ABQ)=\]\[=\dfrac{1}{2}(KB\cdot h_1+AK\cdot h_2 - AB\cdot h_3)=\]\[=\dfrac{AB}{2}(h_1/2+h_2/2-h_3)=\dfrac{AB\cdot h}{2}(1/6+1/8-2/7)=\]\[=\dfrac{\dfrac{4}{3}\cdot{AB+CD}{2}\cdot h}{2}\cdot \dfrac{28+21-48}{3\cdot 8\cdot 7}=\]\[=\dfrac{AB+CD}{2}\cdot h\cdot \dfrac{1}{9\cdot 4 \cdot 7}=\dfrac{S(ABCD)}{252}.\]
Здесь мы воспользовались тем, что \(\dfrac{AB+CD}{2}=\dfrac{3}{4}AB.\) Итак, \(S(ABCD)=252\).

Ответ: 252.