Решить систему уравнений \(\left\{
\begin{array}{rcrcrrcrc}
3x & + & 2y & - & z & = & 0\\
2x & - & y & + & 3z & = & 0\\
x & + & y & - & z & = & 0\\
\end{array}\right. .\)

Решение

Определитель матрицы коэффициентов
\(|A| =
\begin{vmatrix}
3 & 2 & -1\\
2 & -1 & 3\\
1 & 1 & -1\\
\end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot 2 \cdot (-1)
= 3 - 2 + 6 - 1 - 9 + 4 = 1 \neq 0\) \(\Rightarrow \\ \) по теореме Крамера решение существует и единственно.
Легко заметить, что \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) \(-\) решение.

\( x = \frac{
\begin{vmatrix}
0 & 2 & -1\\
0 & -1 & 3\\
0 & 1 & -1\\
\end{vmatrix}}{|A|} = 0, \text{так как матрица имеет нулевой столбец,}\\ \)
\(
y = \frac{
\begin{vmatrix}
3 & 0 & -1\\
2 & 0 & 3\\
1 & 0 & -1\\
\end{vmatrix}}{|A|} = 0, \text{так как матрица имеет нулевой столбец,} \)
\(
z = \frac{
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 0\\
2 & -1 & 0\\
1 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}}{|A|} = 0, \text{так как матрица имеет нулевой столбец.}\)

Определитель не равен 0, следовательно, по методу Крамера это решение единственно.

Ответ: x = 0; y = 0; z = 0.