Решить систему уравнений\(\left\{
\begin{array}{rcrcr}
3x&+&2y&-&z&=&0\\
2x&-&y&+&3z&=&0\\
x&+&3y&-&4z&=&0\\
\end{array}\right..\)

Решение

Определитель матрицы коэффициентов \(
|A| =
\begin{vmatrix}
3&2&-1\\
2&-1&3\\
1&3&-4\\
\end{vmatrix} = \) \( 3\cdot(-1)\cdot(-4) + 2\cdot3\cdot(-1) + 2\cdot3\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot (-4) - 3\cdot3\cdot3 =\) \(12 - 6 + 6 - 1 + 16 - 27 = 28 - 28 = 0,\) следовательно, решений не существует или их бесконечно много.

Заметим, что числа \(x=0, y=0, z=0\) удовлетворяют условию. Одно решение есть, следовательно, их бесконечно много.

Выразим переменные через y. Заметим, что каждое выражение можно выразить через сумму или разность двух оставшихся. Возьмем первые два уравнения из сисетмы.

\(\left\{
\begin{array}{rcrcr}
3x&+&2y&-&z&=&0\\
2x&-&y&+&3z&=&0\\
\end{array}\right. \)

Домножим первое выражение на 3

\(\left\{
\begin{array}{rcrcr}
9x&+&6y&-&3z&=&0\\
2x&-&y&+&3z&=&0\\
\end{array}\right.\)

И сложим выражения: 11x + 5y = 0.

Выразим x: \(x = -\frac{5y}{11}\) и подставим в уравнение \(x + 3y - 4z = 0\), получим \( 3 \cdot (-\frac{5}{11} y) + 2y - z = 0.\)

Выразим переменную \(z\):
\(z = \frac{7}{11} y\)

Получим, что y = c \(\in \mathbb{R}\),
x = - \(\frac{5}{11}c\), z = \(\frac{7}{11}c\)

Ответ: y = c \(\in \mathbb{R}\), x = - \(\frac{5}{11}c\), z = \(\frac{7}{11} c\).