На рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) правильной треугольной призмы с основаниями \(ABC\) и \(A_1 B_1 C_1\) отмечены точки \(D\) и \(E\) так, что \(AD:DA_1 =B_1 E:EB=1:2.\) Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(DEC\), если известно, что данная призма является «каркасной», то есть существует сфера, касающаяся всех её рёбер.

Решение

Обозначим через \(F\) точку пересечения прямых \(BA\) и \(ED\). Тогда \(BF=2BA\). Поскольку угол \(B\) в треугольнике \(ABC\) равен \(60^\circ\), угол \(C\) в треугольнике \(BFC\) будет прямым. Так как \(BC\) — проекция \(EC \) на верхнее основание призмы, по \( \href{https://examp.info/theorem/teorema-o-tryoh-perpendikulyarah/}{\text{теореме о трёх перпендикулярах}}\) \(EC \bot CF\), то есть искомый угол равен \(\angle ECB\). Но по условию призма является каркасной, то есть прямоугольник \(BCC_1 B_1\) — описанный, то есть является квадратом. Стало быть, \(\mathop{\mathrm{tg}}\angle ECB=\dfrac{EB}{BC}=\dfrac{2}{3}\).

Ответ: \(\mathop{\mathrm{arctg}}\dfrac{2}{3}\).