Три окружности имеют разные радиусы и лежат вне друг друга. Докажите, что три точки пересечения общих внешних касательных к парам этих окружностей лежат на одной прямой (см. рис.).
Решение
Докажем от противного.
<br/>
Т. \(О_1\) - центр окружности \(\omega_1\) с радиусом \(r_1\);
<br/>
т. \(О_2\) - центр окружности \(\omega_2\) с радиусом \(r_2\);
<br/>
т. \(О_3\) - центр окружности \(\omega_3\) с радиусом \(r_3\) (см. рис.1).
<br/>
Центры вписанных в один угол окружностей лежат на одной прямой с вершиной этого угла, то есть точки \(A, О_1\) и \(О_2\) лежат на одной прямой. Аналогично на одной прямой лежат точки \(О_1\), \(О_3\) и \(B\), а так же точки \(О_2\), \(О_3\) и \(C\).
<br/>
Построим радиусы к касательным из центров окружностей (см. рис.1): т. \(M\) - точка касания \(\omega_1\) и касательной, проведённой из т. \(A\); т. \(N\) - точка касания \(\omega_2\) и касательной, проведённой из т. \(A\).
<br/>
Углы \(\angle О_1MA\) и \(\angle О_2NA\) - прямые (по теореме о радиусу к касательной). Аналогичные построения совершим для двух других пар окружностей.
<br/>
Треугольники \(ANО_2\) и \(AMО_1\) подобны по двум углам (общий и прямой). Значит,
\[\frac{AО_2}{AО_1} = \frac{r_2}{r_1}.\] Аналогично \[\frac{ВО_3}{ВО_1} = \frac{r_3}{r_1};\] \[\frac{СО_3}{СО_2} = \frac{r_3}{r_2}.\]
Заметим, что \(\frac{AО_2}{AО_1}\) \(\cdot\) \(\frac{ВО_1}{ВО_3}\) \(\cdot\) \(\frac{СО_3}{СО_2}\) = \(\frac{r_2}{r_1}\) \(\cdot\) \(\frac{r_1}{r_3}\) \(\cdot\) \(\frac{r_3}{r_2}\) = 1 (1).
<br/>
Пусть продолжение отрезка \(О_1\)\(О_3\) пересекает отрезок АС в точке \(B_1\) (см. рис.1).
<br/>
Так как прямая АС пересекает продолжения сторон \(О_1\)\(О_2\), \(О_2\)\(О_3\) и \(О_1\)\(О_3\) треугольника \(О_1\)\(О_2\)\(О_3\), по теореме Менелая \(\frac{B_1О_1}{B_1О_3}\) \(\cdot\) \(\frac{O_3C}{CО_2}\) \(\cdot\) \(\frac{AО_2}{O_1A}\) = 1 (2).
<br/>
Приравняем левые части уравнений (1) и (2), сократив на повторяющиеся множители. Получим равенство \(\frac{BO_1}{BО_3}\) = \(\frac{O_1B_1}{B_1О_3}\). Значит точки \(B\) и \(В_1\) совпадают, то есть точка \(B\) лежит на отрезке \(AC\) (см. рис.2).
<br/>
Что и требовалось доказать.
