Исследовать на сходимость ряд \(\sum\limits_{n=3}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot \frac{n^2}{2^n}.\)

Решение

Исходно дан знакочередующийся ряд. Рассмотрим ряд из абсолютных величин, исследуем его с помощью признака Даламбера:
\[\lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_{n}},\text{ где } b=\frac{n^2}{2^n}\]
\[\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}}= \lim_{n\to\infty} \frac{2^n\cdot (n+1)^2}{2^{n+1} \cdot n^2}= \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2n+1}{2n^2}=\lim_{n\to\infty} \frac{n^2 \cdot \left( 1 + \frac{2}{n} + \frac {1}{n^2} \right)}{2n^2}=\frac{1+2 \cdot 0 +0}{2}=\frac{1}{2}\]
\[\frac{1}{2}<1 \text{, следовательно, ряд сходится, а исходный ряд сходится абсолютно.}\]

Ответ: Ряд сходится абсолютно.