Найти объём пирамиды \(ABCD\), где \(A(-2;2;1)\), \(B(-1;1;-2)\), \(C(1;2;-3)\), \(D(0;-2;3)\). Вычислить объем этой пирамиды и длину её высоты \(DE\).

Решение

Найдем векторы \(\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB}, \overrightarrow{DC}\):
\(\overrightarrow{DA}=(-2;4;-2)\),

\(\overrightarrow{DB}=(-1;3;-5)\)

и

\(\overrightarrow{DC}=(1;4;-6)\)
Найдем смешанное произведение векторов:
\(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\)=
\begin{vmatrix}
-2&4&-2\\
-1&3&-5\\
1&4&-6
\end{vmatrix}=-2\(\cdot(-18+20)\)+(-24+8)+(-20+6)=-4 -16-14=-34
<p>
Объем пирамиды находится по формуле:

\(V=\pm\dfrac{1}{6}|(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC})|=-\dfrac{1}{6}\cdot(-34)=\dfrac{17}{3}\)

<p>
Находим векторы \(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA}\):
\(\overrightarrow{BC}=(2;1;-1)\)
и
\(\overrightarrow{BA}=(-1;1;3)\)

Векторное произведение \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BA}\):

\begin{vmatrix}
i&j&k\\
2&1&-1\\
-1&1&3
\end{vmatrix}=i(3+1)-j(6-1)+k(2+1)=4i-5j+3k

Площадь треугольника вычисляется по формуле: \(S=\dfrac{1}{2}\)\(\cdot|[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}]|\)

Таким образом, \(S=\dfrac{1}{2}\sqrt{16+25+9}=\dfrac{1}{2}\sqrt{50}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)

Объем треугольника равен
\(V=\dfrac{1}{3}Sh\).

Следовательно,
\(h=\dfrac{3\cdot V}{S}=\dfrac{\dfrac{17}{3}\cdot3}{2,5\sqrt{2}}=\dfrac{17}{2,5\sqrt{2}}=\dfrac{17\sqrt{2}}{\dfrac{5}{2}\cdot2}=3,4\sqrt{2}\)
\(\lhd\)

Ответ: \(V=\dfrac{17}{3}\); \(h=3,4\sqrt{2}\).