Дана равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Точки \(P, Q, R, T\) – центры окружностей, вписанных в треугольники \(ABD, ABC, BCD, CDA\) соответственно. Вычислите площадь четырёхугольника \(PQRT\), если известно, что \(𝐴𝐶=4\sqrt{5},𝐴𝐵=2\sqrt{5}\), а одна из сторон четырёхугольника \(PQRT\) равна \(10−4\sqrt{5}\).

Решение

1. Доказывается, что четырёхугольник \(O_1O_2O_2O_4\) - это прямоугольник (см. задачу № 55537 на \(\large\href{problems.ru}{problems{.}ru}\)).
<br />
2. Вычисляется площадь искомого четырёхугольника (см. рис. 2).

Ответ: \(20(\sqrt{5}−2)\).