Решите неравенство \(x^{\log_{2}\sqrt{x}}\geqslant\dfrac{2}{\sqrt{x}}\).

Решение

\[x^{\log_{2}\sqrt{x}}\geqslant\dfrac{2}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow
{2}^{\log_2 x \cdot \log_2 \sqrt{x}} \geqslant 2^{1\ - \log_2 \sqrt{x}}\Leftrightarrow
{2}^{\frac{1}{2}\log_2 ^2 x} \geqslant 2^{1\ - \frac{1}{2}\log_2 x}\Leftrightarrow \]

\[ \Leftrightarrow
\dfrac{1}{2}\log_2 ^2 x\geqslant 1 \ -\dfrac{1}{2}\log_2 x \Leftrightarrow (\log_2 x+2)(\log_2 x \ -1)\geqslant 0 \Leftrightarrow \]

\[ \Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x>0 \\
\left(x\ -\dfrac{1}{4} \right) \left( x \ -2 \right)\geqslant 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow x\in \left( 0, \dfrac{1}{4}\right]\cup\left[2,+\infty\right). \]

Ответ: \(x\in \left(0, \dfrac{1}{4}\right]\cup\left[2,+\infty\right)\).