Числа \(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{30}\) образуют \(\href{https://examp.info/onedef/arifmeticheskaya-progressiya/}{\text{арифметическую прогресию}}\). Известно, что \(a_{2}+a_{4}+a_{6}+...+a_{30}=45\) и что \(a_{3}+a_{6}+a_{9}+...+a_{30}=100.\) Найдите разность этой прогресии.

Решение

Обозначим разность прогрессии \(d\). Воспользуемся формулой \(n\)-ого члена арифметической прогрессии
\[
\begin{equation*}
a_{n}=a_{1}+d\cdot(n-1).
\end{equation*}
\]\[
\begin{equation*}
a_{2}+a_{4}+a_{6}+...+a_{30}=15a_{1}+d+3d+5d+...+29d = 15a_{1}+ 225d = 45,
\end{equation*}
\]\[
\begin{equation*}
a_{3}+a_{6}+a_{9}+...+a_{30}=10a_{1}+2d+5d+8d+...+29d=10a_{1}+155d = 100.
\end{equation*}
\]
Умножим второе равенство на \(3\) и вычтем из него первое, умноженное на \(2\) и получим
\begin{equation*}
30a_{1}-30a_{1}+465d-450d=300-90=210.
\end{equation*}
и \( 15d = 210 \Leftrightarrow d = 14\).

Ответ: \(14\).