Правильный пятиугольник вписан в окружность радиуса \(1\). Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин пятиугольника постоянна, и найдите эту сумму.

Решение

1. \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} \Rightarrow |\overrightarrow{MA}|^2 = (\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2 = |\overrightarrow{MO}|^2 + |\overrightarrow{OA}|^2 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OA} = 2 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OA}\).
<p>
2. Аналогично
<p>
\(|\overrightarrow{MB}|^2 = 2 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OB};\)
<p>
|\(\overrightarrow{MC}|^2 = 2 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OC};\)
<p>
|\(\overrightarrow{MD}|^2 = 2 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OD};\)
<p>
|\(\overrightarrow{ME}|^2 = 2 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{OE}.\)
<p>
3. \(|\overrightarrow{MA}|^2 + |\overrightarrow{MB}|^2 + |\overrightarrow{MC}|^2 + |\overrightarrow{MD}|^2 + |\overrightarrow{ME}|^2 = 10 + 2 \cdot \overrightarrow{MO} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE})\).
<p>
4. Т. к. точка \(O\) - \(\href{https://biblio.mccme.ru/node/5444}{\text{центр масс пятиугольника}}\), то \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = 0\), следовательно, \(\Rightarrow |\overrightarrow{MA}|^2 + |\overrightarrow{MB}|^2 + |\overrightarrow{MC}|^2 + |\overrightarrow{MD}|^2 + |\overrightarrow{ME}|^2 = 10\) (независимо от положения точки \(M).\)
<p>
Решение добавила Газизуллина Ч.

Ответ: \(10\).