Найдите все значения параметра \(a\), при которых наименьшее значение выражения
\[\sqrt{x+4a^2\ -1\ -4a\sqrt{x\ -1}}+\sqrt{x+a^2+2a\ -2(a+1)\sqrt{x\ -1}}\]
достигается ровно в одной точке.

Решение

Положим \(t = \sqrt{x\ -1}\) и заметим, что
\[\sqrt{x+4a^2\ -1\ -4a\sqrt{x\ -1}}+\sqrt{x+a^2+2a\ -2(a+1)\sqrt{x\ -1}}=\]
\[=\sqrt{(\sqrt{x\ -1})^2\ -2\cdot 2 a\sqrt{x\ -1}+(2a)^2}+\sqrt{\sqrt{x\ -1}^2\ -2(a+1)\sqrt{x\ -1}+(a+1)^2}=\]
\[=\left|\sqrt{x\ -1} -2a \right| + \left|\sqrt{x\ -1}\ -(a+1) \right| = |t\ -2a|+|t\ -(a+1)|.\]
Значит, требуется найти значения параметра \(a\), при которых минимум выражения \(|t\ -2a|+|t\ -(a+1)|\) при \(t\geqslant 0\) достигается ровно в одной точке. Поскольку между \(2a\) и \(a+1\) данная функция постоянна, убывает слева от наименьшего из \(2a\) и \(a+1\) и возрастает справа от наибольшего, минимум при \(t\geqslant 0\) достигается в одной точке тогда и только тогда, когда либо \(2a=a+1\), либо наибольшее из \(2a\) и \(a+1\) не превосходит 0. Получаем, что либо \(a=1\), либо \(a\leqslant -1\).

Ответ: \(a\in(-\infty , -1]\cup \{1\} \).