Сумма первых трёх членов \(\href{https://examp.info/onedef/geometricheskaya-progressiya/}{\text{геометрической прогрессии}}\) в два раза больше разности между первым и четвёртым её членами. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что сумма первых семи её членов равна 127.

Решение

Обозначим через \(b\) и \(q\) соответственно первый член прогрессии и её знаменатель. Тогда по условию \(b \left( 1+q+q^2 \right) = 2b\left( 1-q^3 \right) = \) \( = 2b\left( 1 - q \right)\left( 1+q+q^2 \right)\). Отсюда, сокращая на \(b\left(1+q+q^2\right)\) (это действие корректно, так как \(b\neq 0\), поскольку иначе сумма любого количества членов прогрессии равна нулю), получаем: \(1=2\left(1-q\right)\), откуда \(q=\dfrac{1}{2}\). Для суммы первых семи членов прогрессии имеем \(S_7=\dfrac{b\left(1-q^7\right)}{1-q}=127\), то есть \(\dfrac{b\left(1-\dfrac{1}{2^7}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}=127\), откуда \(b=2^6=64\).

Ответ: \(64\).