Решить линейное уравнение методом вариации постоянных: \(y^{\prime \prime} - y = e^{x} \cdot (e^{x} - 1)^{-1}\)

Решение

Найдем общее решение:
\[ \lambda^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow \lambda=\pm 1\]
\[ \lambda = 1 \Rightarrow y_1 = C \cdot e^x \]
\[ \lambda = -1 \Rightarrow y_2 = C_1 \cdot e^{-x} \]
Общее решение имеет вид:
\[ y(x) = C \cdot e^x + C_1 \cdot e^{-x} \]
Решим методом вариации постоянных:
\[ \left\{\begin{array}\\C^{\prime}(x) \cdot e^x + C_1^{\prime}(x) \cdot e^{-x} = 0 \\C^{\prime}(x) \cdot e^x - C_1^{\prime}(x) \cdot e^{-x} = e^{x} \cdot (e^{x} - 1)^{-1} \end{array}\right.\]
Найдем \(C^{\prime}(x) \) и \(C_1^{\prime}(x)\) используя метод Крамера:
\[ W = \begin{bmatrix} e^x & e^{-x} \\ e^x & -e^{-x} \end{bmatrix} = -2 \ne 0\]
Главный определитель не равен нулю, значит система имеет единственное решение \( \Rightarrow \)
\[ W_1 = \begin{bmatrix} 0 & e^{-x} \\ \dfrac{e^x}{e^x -1} & -e^{-x} \end{bmatrix} = -\dfrac{1}{e^x - 1} \]
\[ W_2 = \begin{bmatrix} e^{x} & 0 \\ e^{x} & \dfrac{e^x}{e^x -1} \end{bmatrix} = \dfrac{e^{2x}}{e^x - 1} \]
Теперь найдем производные:
\[C^{\prime}(x) = \dfrac{W_1}{W} = \dfrac{1}{2 \cdot (e^x - 1)} \]
\[C_1^{\prime}(x) = \dfrac{W_2}{W} = - \dfrac{e^{2x}}{2 \cdot (e^x - 1)} \]
Найдём сначала \(C(x)\), взяв интеграл от производной:
\[ C(x) = \int_{} C^{\prime}(x) dx = \dfrac{1}{2} \int_{} \dfrac{1}{(e^x - 1)} dx \]
Заменим \( e^x = u \Rightarrow \dfrac{du}{dx} = e^x \):
\[ \int_{} \dfrac{1}{(u-1) \cdot u} du\]
Расширим дробь на \(\dfrac{1}{u^2} \):
\[ \int_{} \dfrac{1}{\left(u-\dfrac{1}{u}\right) \cdot u^2} du\]
Делаем еще одну замену на \(v = 1 - \dfrac{1}{u} \Rightarrow \dfrac{dv}{du} = \dfrac{1}{u^2} \):
\[ \int_{} \dfrac{1}{v} dv = \ln v \Rightarrow \ln \left(1 - \dfrac{1}{u}\right) \Rightarrow \dfrac{\ln (e^{-x} - 1)}{2} = \dfrac{\ln (e^x -1) - x}{2}\]
Далее найдем интеграл от \(C_1(x)\):
\[ C_1(x) = \int_{} C_1^{\prime}(x) dx = - \dfrac{1}{2} \int_{} \dfrac{e^{2x}}{(e^x - 1)} dx\]
Делаем замену \( u = e^x - 1 \Rightarrow \dfrac{du}{dx} = e^x\):
\[ \int_{} \dfrac{u+1}{u} du \Rightarrow \int_{} \dfrac{1}{u} du + \int_{} 1 \cdot du\]
\[ \ln u + u \Rightarrow \ln (e^x - 1) + e^x -1 \Rightarrow - \dfrac{\ln (e^x - 1) + e^x}{2} \]
Теперь подставим \(C(x)\) и \(C_1(x)\) в начало и получим:
\[ y = \dfrac{e^x \cdot \ln(e^x -1)}{2} - \dfrac{\ln(e^x - 1)}{2e^x} - \dfrac{x \cdot e^x}{2} + C_2 \cdot e^x + \dfrac{C_3}{e^x} - \dfrac{1}{2} \]

Ответ: \( y = \dfrac{e^x \cdot \ln(e^x -1)}{2} - \dfrac{\ln(e^x - 1)}{2e^x} - \dfrac{x \cdot e^x}{2} + C_2 \cdot e^x + \dfrac{C_3}{e^x} - \dfrac{1}{2} \).