На сторонах угла в \(60^\circ\) расположены отрезки \(AB\) и \(CD\), причем отрезки \(AC\) и \(BD\) не пересекаются. Найдите расстояние между серединами отрезков \(AC\) и \(BD\), если \(AB=7\), \(CD=8\).

Решение

1. Дополнительное построение \(DE\parallel AB\); \(DE = AB = 7;\) \(\Rightarrow BD = AE\); \(\angle CDE = \angle COA = 60^\circ\) (соответственные углы при \(OA\parallel DE\) и секущей СО).

2. Дополнительное построение \(DF\) - медиана к стороне \(EC\) в \(\triangle EDC\). Теорема косинусов для \(\triangle EDC\):
\[EC^2 = ED^2 + DC^2 - 2 \cdot ED \cdot DC \cdot \cos 60^ \circ;\]
\[EC = \sqrt{49 + 64 - 7 \cdot 8}=\sqrt{57}.\]

3. По формуле медианы в \(\triangle EDC\):
\[DF=\frac{\sqrt {2 \cdot ED^2 + 2\cdot DC^2 - EC^2}}{2} = 6{,}5.\]

4. \(NF\) - средняя линия в \(\triangle ACE\), т. к. \(CN = NA\) по условию; \(CF = FE\) по построению. Следовательно, \(NF = 0{,}5 \cdot AE \); \(NF \parallel AE \parallel MD.\)

5. Из п. 4 следует, что \(NMDF\) - параллелограмм, т. е. \(MN = DF = 6{,}5\).

Решение добавила Газизуллина Ч.

Ответ: \(6{,}5\).