Дан параллелепипед \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) с основанием \(ABCD\) и боковыми рёбрами \(AA_1,\) \(BB_1,\) \(CC_1,\) \(DD_1.\) Найдите отношение, в котором делит его объём плоскость, проходящая через вершину \(A,\) середину ребра \(BC\) и середину ребра \(C_1 D_1.\)

Решение

Обозначим середины рёбер \(BC\) и \(C_1 D_1\) через \(M\) и \(N\) соответственно. Продлим \(AM\) до пересечения с прямой \(DC.\) Получим точку \(E.\) Поскольку треугольники \(ABM\) и \(ECM\) подобны и \(BM=CM,\) имеем \(EC=AB=CD.\) Продлим \(EN\) до пересечения с прямой \(DD_1.\) Получим точку \(F.\) Обозначим также через \(G\) точку пересечения \(EN\) с \(CC_1\) и через \(L\) — середину \(CD.\) Поскольку треугольники \(ECG, ELN, EDF\) подобны и \(ED=2EC=\dfrac{4}{3}EL,\) имеем \(DF=2CG=\)\(\dfrac{4}{3}LN.\) Обозначим через точку H точку пересечения AF с \(A_1 D_1.\) Воспользуемся \(\href{https://examp.info/theorem/ob-otnosheniyah-obemov-piramid/}{\text{утверждением об отношеии объемов пирамид}}.\) Объём части параллелепипеда, содержащей точку \(D,\) равен
\[V_{ADEF}-V_{MCEG}-V_{HD_1 NF}=V_{ADEF}\left(1-\dfrac{1}{2^3}-\dfrac{1}{4^3}\right) =\]\[=\dfrac{55}{64}\cdot V_{ADEF}=\dfrac{55}{64}\cdot 2\cdot \dfrac{4}{3}\cdot V_{ADCD_1}={55}{24}\cdot V_{ADCD_1}=\]\[\dfrac{55}{24}\cdot \dfrac{1}{6} \cdot V=\dfrac{55}{144}V,\]
где \(V\) — объём параллелепипеда. Стало быть, искомое отношение равно 55:89.

Ответ: 55:89.