Даны точки \(А (a; 0; 0), B (0; 0; 2a)\) и \(C (a; 0; a).\) Построить векторы \(\overrightarrow{OC}\) и \(\overrightarrow {AB}\) и найти угол между ними.

Решение

Зная координаты точек \(A, B\) и \(C,\) найдём вектора \( \overrightarrow{OC} = (a;0;a), \overrightarrow{AB} = (0-a;0-0;2a-0) = (-a;0;2a).\)

Тогда угол между векторами найдём по формуле скалярного произведения \(\cos{\alpha} = \frac{(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{OC} )}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OC} |}.\)

Длины векторов равны \(|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2},
|\overrightarrow{AB} | = \sqrt{(-a)^2 + 4a} = a\sqrt{5}.\)

Скалярное произведение равно \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{OC}) = (-a)\cdot a+0+a\cdot2\cdot a = -a^2 + 2a^2 = a^2.\)

Тогда \(\cos{\alpha} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\) и угол \(\alpha = \mathop{\mathrm{arccos}} \frac{1}{\sqrt{10}}.\)

Ответ: \(\mathop{\mathrm{arccos}} \frac{1}{\sqrt{10}}\).