Решите уравнение: \(6\sin^2{x}-2\sin^2{2x}=3\).

Решение

Воспользуемся формулой \(\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}\):
\[
6\sin^2{x}-2\sin^2{2x}=3 \Leftrightarrow
\]

\[
\Leftrightarrow 6\sin^2{x}-8\sin^2{x}\cos^2{x}=3 \Leftrightarrow
\]

\[
\Leftrightarrow 6\sin^2{x}-8\sin^2{x}(1-\sin^2{x})=3 \Leftrightarrow
\]

\[
\Leftrightarrow 8\sin^4{x}-2\sin^2{x}-3=0 \Leftrightarrow
\]

\[
\Leftrightarrow \sin^2{x}=-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4}.
\]
Отрицательный корень не подходит, поэтому:
\[
\sin{x}=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi}{3}+\pi n, n \in \mathbb{Z}.
\]

Ответ: \(\pm \dfrac{\pi}{3}+\pi n, n \in \mathbb{Z}\).