Вычислить определители, разложив их по элементам первого столбца \(\begin{vmatrix}
a& 1& a\\
-1& a& 1\\
a& -1& a\\
\end{vmatrix}.\)

Решение

Вычислим определитель с разложением по первому столбцу
\(\begin{vmatrix}
a& 1& a\\
-1& a& 1\\
a& -1& a
\end{vmatrix} = (-1)^{1+1} \cdot a \cdot
\begin{vmatrix}
a& 1 \\
-1& a \\
\end{vmatrix}+ (-1)^{1+2} \cdot (-1)
\cdot
\begin{vmatrix}
1& a \\
-1& a \\
\end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \cdot a\cdot
\begin{vmatrix}
1& a\\
a& 1\\
\end{vmatrix} =\)\(a\cdot (a \cdot a - 1 \cdot (-1))
+ 1 \cdot (a \cdot 1 - a \cdot (-1))
+ a \cdot (1 \cdot 1 - a \cdot a) = \) \(a \cdot (a^2 + 1) + 1 \cdot (a + a) + a \cdot (1 - a^2)
= a^3 + a + 2a + a - a^3 = 4a.\)

Ответ: 4a.