Определить и построить вектор \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}\), если:
\( 1) \, \vec{a}=3\vec{i}, \quad \vec{b}=2\vec{k};\)
\( 2) \, \vec{a} = \vec{i} + \vec{j}, \quad \vec{b} = \vec{i} - \vec{j};\)
\(3) \, \vec{a} = \vec{i}+\vec{j}, \quad \vec{b} = 3\vec{j}+2\vec{k}\).
Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}.\)

Решение

1)
\( \vec{c} = [\vec{a},\vec{b}] = [3\vec{i},2\vec{k}] = 3\cdot2\cdot[\vec{i},\vec{k}]=6 \cdot (-)\vec{j} = -6\vec{j}\).
По геометрическому свойству векторного произведения площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a}\) ; \(\vec{b}\) равна модулю их веторного произведения (которое по условию равно длине вектора \( \vec{c} \) ): \(S = |[\vec{a};\vec{b}]| = |-6\vec{j}| = |-6| = 6\).

2) \(\vec{c} = [\vec{i}+\vec{j}; \vec{i}-\vec{j}]= [\vec{i};\vec{i}-\vec{j}]+[\vec{j};\vec{i}-\vec{j}]= -[\vec{i}-\vec{j};\vec{i}]-[\vec{i}-\vec{j};\vec{j}] = \quad -[\vec{i};\vec{i}]+[\vec{j};\vec{i}]-[\vec{i};\vec{j}]+[\vec{j};\vec{j}]=\)
\(=0 + [\vec{j};\vec{i}] - [\vec{i};\vec{j}] + 0 = [\vec{j};\vec{i}] + [\vec{j};\vec{i}] = -2\vec{k}\)
\(S = |-2\vec{k}| = |-2| = 2\)

3)
\(\vec{c} = [2\vec{i} + 3\vec{j};3\vec{j}+2\vec{k}] = [2\vec{i};3\vec{j}+2\vec{k}] + [3\vec{j};3\vec{j}+2\vec{k}]=\)
\(= [2\vec{i};3\vec{j}]+[2\vec{i};2\vec{k}]+[3\vec{j};3\vec{j}]+[3\vec{j};2\vec{k}] = 6[\vec{i};\vec{j}]+4[\vec{i};\vec{k}]+6[\vec{j};\vec{k}] =\)
\(=6\vec{k} - 4\vec{j} + 6\vec{i}= 6\vec{i} - 4\vec{j} + 6\vec{k}\)
\(S = |[6\vec{i} ;- 4\vec{j} ; 6\vec{k}]| = \sqrt{6^2 + (-)4^2 + 6^2} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}\)

Ответ: 1) \(\vec{c} =-6\vec{j}; S = 6;\) 2) \(\vec{c} = -2\vec{k}; S = 2;\) 3) \(\vec{c} = 6\vec{i} - 4\vec{j} + 6\vec{k}; \quad S = 2\sqrt[]{22}\).