Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии в два раза больше суммы первых десяти членов. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что её пятый член равен 7.

Решение

Обозначим первый член и разность прогрессии \(a_{1}\) и \(d\) соответственно. Воспользуемся формулой \(n\)-ого члена \( \href{https://examp.info/onedef/arifmeticheskaya-progressiya/}{\text{арифметической прогрессии}}\) \(n\) слагаемых
\[
\begin{equation*}
a_{n}=a_{1}+d\cdot(n-1),\quad S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}.
\end{equation*}
\]
Тогда из условия будет следовать, что
\[
\begin{equation*}
2\cdot10\cdot\frac{a_{1}+a_{1}+d\cdot(10-1)}{2}= 15\cdot\frac{a_{1}+a_{1}+d\cdot(15-1)}{2},
\end{equation*}
\]
\[
\begin{equation*}
a_{1}=3d.
\end{equation*}
\]
Для 5-ого члена имеем \(a_{1}+4d=7\), откуда \(d=1\) и \(a_{1}=3\).

Ответ: \(a_{1}=3\).