Решить систему уравнений \(\left\{
\begin{array}{rcrcrrcrc}
2x & - & 3y & + & z & - & 2 & = & 0,\\
x & + & 5y & - & 4z & + & 5 & = & 0,\\
4x & + & y & - & 3z & + & 4 & = & 0.\\
\end{array}\right.\)

Решение

Определитель матрицы коэффициентов \(|A| =
\begin{vmatrix}
2 & -3 & 1\\
1 & 5 & -4\\
4 & 1 & -3\\
\end{vmatrix} =\)

\( = 2 \cdot 5 \cdot (-3) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + (-3) \cdot (-4) \cdot 4 - 4 \cdot 5 \cdot 1 - 1 \cdot (-4) \cdot 2 - 1 \cdot (-3) \cdot (-3) = - 30 + 1 + 48 - 20 + 8 - 9 = - 2 \neq 0,\)

следовательно по теореме Крамера решение существует и оно единственно. Найдём \(x\), \(y\) и \(z\)

\( x = \frac{ \begin{vmatrix}
2 & -3 & 1\\
-5 & 5 & -4\\
-4 & 1 & -3\\
\end{vmatrix}}{|A|} = \frac{2 \cdot 5 \cdot (-3) + (-5) \cdot 1 \cdot 1 + (-3) \cdot (-4) \cdot (-4) - (-4) \cdot 5 \cdot 1 - 1 \cdot (-4) \cdot 2 - (-5) \cdot (-3) \cdot (-3)}{-2} = \frac{-30 - 5 - 48 + 20 + 8 + 45}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5,\)

\( y = \frac{ \begin{vmatrix}
2 & 2 & 1\\
1 & -5 & -4\\
4 & -4 & -3\\
\end{vmatrix}}{|A|} = \frac{2 \cdot (-5) \cdot (-3) + (-4) \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-4) \cdot 4 - 4 \cdot (-5) \cdot 1 - (-4) \cdot (-4) \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot (-3)}{-2} = \frac{30 - 4 - 32 + 20 - 32 + 6}{-2} = \frac{-12}{-2} = 6,\)

\( z = \frac{ \begin{vmatrix}
2 & -3 & 2\\
1 & 5 & -5\\
4 & 1 & -4\\
\end{vmatrix}}{|A|} = \frac{2 \cdot 5 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot 2 + (-3) \cdot (-5) \cdot 4 - 4 \cdot 5 \cdot 2 - 1 \cdot (-5) \cdot 2 - 1 \cdot (-3) \cdot (-4)}{-2} =\frac{-40 + 2 + 60 - 40 + 10 - 12}{-2} = \frac{-20}{-2} = 10.\)

Ответ: \(x = 5; y = 6; z = 10\).