Решить систему уравнений \(\left\{
\begin{array}{rcrcr}
2x&-&4y&+&3z&=&1\\
x&-&2y&+&4z&=&3\\
3x&-&y&+&5z&=&2\\
\end{array}\right..\)

Решение

Воспользуемся \(\href{https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0}{\textit{теоремой Крамера}}.\) Для этого сначала вычислим определитель матрицы коэффициентов:

\(|A| =
\begin{vmatrix}
2&-4&3\\
1&-2&4\\
3&-1&5\\
\end{vmatrix}=2 \cdot (-2) \cdot 5 + 1 \cdot (-1) \cdot 3 + (-4) \cdot 4 \cdot 3 - 3 \cdot (-2) \cdot 3 - 1 \cdot (-4) \cdot 5 - (-1) \cdot 4 \cdot 2 = \)\(- 20 - 3 - 48 + 18 + 20 + 8 = - 25 \neq 0 \Rightarrow \)
\(x = \frac{
\begin{vmatrix}
1& -4& 3\\
3& -2& 4\\
2& -1& 5\\
\end{vmatrix}}{-25} = \frac{1 \cdot (-2) \cdot 5 + 3 \cdot (-1)3 \cdot + (-4) \cdot 4 \cdot 2 - 2 \cdot (-2) \cdot 3 - 3 \cdot (-4) \cdot 5 - (-1) \cdot 4 \cdot 1}{-25} =\frac{-10 -9 - 32 + 12 + 60 + 4}{-25} = \frac{25}{-25} = -1.\)
\(y = \frac{
\begin{vmatrix}
2& 1& 3\\
1& 3& 4\\
3& 2& 5\\
\end{vmatrix}}{-25} = \frac {2 \cdot 3 \cdot 5 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 \cdot 3 - 3 \cdot 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \cdot 2}{-25} =\frac{36 + 12 - 27 - 5 - 16}{-25} = \frac{0}{-25} = 0.\)
\(z = \frac{
\begin{vmatrix}
2& -4& 1\\
1& -2& 3\\
3& -1& 2\\
\end{vmatrix}}{-25} = \frac {2 \cdot (-2) \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \cdot 1 + (-4) \cdot 3 \cdot 3 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 1 \cdot (-4) \cdot 2 - (-1) \cdot 3 \cdot 2}{-25} = \frac{-8 -1 - 36 + 6 + 8 + 6}{-25} = \frac{-25}{-25} = 1.\)

Ответ: x = -1; y = 0; z = 1.