Сумма второго и восьмого членов возрастающей геометрической прогрессии равна \(9\sqrt{2}.\) Произведение четвёртого, пятого и шестого членов этой прогрессии равна 64. Найдите разность между девятым и первым членами этой прогрессии.

Решение

Поскольку прогрессия возрастающая, её знаменатель положителен. Следовательно, все члены прогрессии имеют одинаковые знаки. Поскольку же сумма второго и восьмого членов положительна, все члены прогрессии являются положительными числами и знаменатель прогрессии больше 1.
Пусть \(b_1,b_2=b_1q,b_3=b_1q^2,...,b_8=b_1q^7,...\) \(-\) исследуемая прогрессия.


Тогда \(b_1^3q^{12}=64 \iff b_1q^4=4\) и \(b_1(q+q^7)=9\sqrt{2}\) \( \iff b_1q^4(\frac{1}{q^3}+q^3)=9\sqrt{2}.\) Из последних уравнений получаем квадратное уравнение вида \(4q^6-9\sqrt{2}q^3+4=0\) относительно \(q^3.\) Решаем его и получаем \(q=\sqrt{2}\), после подстановки в равенство \(b_1q^4=4\) находим \(b_1=1.\) Искомая разность равна
\[b_9-b_1=b_1q^8-b_1=16-1=15.\]

Ответ: 15.